【対数】「対数をとる」とはどういうことか

先に底の変換公式の証明を行った際に、これは下側から上に逆にさかのぼっても同じように証明可能だと述べました。その場合、途中で以下のような遷移が現れます。

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【対数】対数の計算公式�W〜底と真数の入替え

前回の底の変換公式を応用することで、次の公式も導くことができます。この公式から、対数には、底と真数をひっくり返したものと元の対数を掛け合わせると"１"になるという面白い性質があることがわかります。

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【対数】対数の計算公式�V〜底の変換公式

対数の計算公式の３つめです。次の公式を使うことで、底を自由に別の値に変換できます。これによって任意の対数の値を常用対数に変換して自由に計算することができます。

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【対数】対数の計算公式�U

引き続き、対数の計算についてみていきます。次の計算公式は、真数の指数は対数の外に出せるというものです。

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【対数】対数の計算公式�T

さて、以上までの準備を踏まえて、いよいよ対数そのものの計算に入っていきます。対数が「指数＝掛ける回数」を単独で取り出したものであり、対数を扱うとき、指数そのものを直接、裸で操作しているのだ、ということをもう一度思い出しましょう。また、表記の定義があやふやになってしまっているようでしたら、もう一度確認しておいてください。最初は以下の公式からです。

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【対数】指数法則とゼロ・マイナス・分数の指数

前回おさらいした指数法則は、これまで拡張してきたゼロとマイナスの指数、および分数の指数についても整合的です（というよりもともとそうなるように定義してきています）。以下の例で確認してみましょう。

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【対数】指数法則をおさらいする

対数そのものを扱う前に、いろいろと仕込みの作業が続きますが、指数の拡張と合わせて、もうひとつ目配りしておく必要があるのが、指数の計算規則である「指数法則」のおさらいです。

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【対数】表計算ソフトのpower関数で累乗根を求める

ＰＣの表計算ソフト（MS-OfficeのExcelやOpenOfficeなど）で累乗を計算する関数にpower関数がありますが、この関数は「分数の指数」にも対応しているので、その機能を使ってある数の累乗根が取る実際の値を確認することができます。ためしにやってみましょう。

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【対数】分数の指数と小数の指数

前回、累乗と逆の、対になる計算として、累乗根を定めました。ここではさっそくその累乗根を用いて、「分数の指数」を以下のように定義します。

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【対数】累乗根

累乗、指数と関係が深く、ちょうどその裏返しにあたる計算が「累乗根」（root）です。これまでは累乗で指数が２の場合に対応する平方根（２乗根）しかありませんでしたが、指数を拡張するにあたって、こちらの方もその外側にまで視野を拡げておきます。

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