【数の構成】フェルマーの小定理を証明する

フェルマーの小定理を証明するやり方は、何通りか考えられていますが、ここではそのもっとも簡単なものを使って、この式を自分で再現してみましょう。

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【数の構成】フェルマーの小定理と「1の位」問題

合同式の「100乗問題」の最後で「1の位」を当てるという問題をやりました。累乗を繰り返したときに1の位が何になるか、というこの問題を、フェルマーの小定理を使って考えてみます。

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【数の構成】フェルマーの小定理

合同式の「100乗問題」を扱った際に、「1」を探すのがコツという話がありました。このようなケースで、累乗しながら「1」を探していくと、ある規則性がみえてきます。それが「フェルマーの小定理（Fermat's little theorem）」 と呼ばれるもので、合同式の関連では最も有名な定理です。

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【数の構成】9の魔法と9去法

合同式の公式を学んだ中で、倍数の判定法について取り上げましたが、そこで3の倍数についてみたことは9の倍数にもそのままあてはまります。すなわち、桁の数を足し合わせた数が9で割り切れる数は、元の数も9で割り切れますし、両者の余りの数は割り切れるゼロの時以外でも常に一致します。

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【数の構成】合同式で遊ぼう〜100乗問題を解く�V

前回の最後に出てきた「1の位」を言い当てる問題について、「2の100乗の1の位はなにか？」 という例題をネットでみました。これもやってみましょう。2の累乗の問題ですが、マジックナンバーはなぜか「6」です。

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【数の構成】合同式で遊ぼう〜100乗問題を解く�U

合同式の「100乗問題」について、応用の幅を広げながら、もう少し続けます。ちょっと難度があがりますよ。

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【数の構成】合同式で遊ぼう〜100乗問題を解く�T

それではここから実際に、これまでみてきた合同式の機能を使って「××の100乗の余りを求めよ」というタイプの例題をやってみましょう。これは別に10乗でも1000乗でもかまわないのですが、100乗くらいが手頃のようなので、仮にこういう呼び名にしておきます。

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【数の構成】合同式で遊ぼう〜掛けてもいいなら割ってもいい？

ここまで合同式のモジュラー演算について、足し算・引き算・掛け算については、あたかも等式であるかのように扱えることをみてきました。では「割り算」も同じようにやっていいでしょうか？ふつう一般の等式の場合は、掛け算と割り算は逆の演算で互いに逆戻りすることが保証されていました。ところが合同式では割り算はそのまま自由に行ってはいけません。

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【数の構成】合同式で遊ぼう〜合同式の演算公式�W

合同式の演算公式をもう少し続けます（いよいよ佳境です）。

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【数の構成】合同式で遊ぼう〜合同式の演算公式�V

ひきつづき合同式の演算公式です。先の回の公式を組み合わせることで次の公式が導けます（だんだん「計算」ぽくなってきました）

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