【積分】区分求積の基本式

ここからは、個々の具体的な関数において区分求積の計算を実際に行い、それによって前回の「基本定理」における微分との関係が本当に取り出せるのかを確認していきます。まずは一般化されたモデルケースを使って、基本的な考え方を整理しましょう。

今、関数 f(x) の a から b までの一定の区間を取り出して、そこを細かく刻んで区分求積していくものとします。a は定積分の下端、b は上端のイメージです。n は分割回数、Δx は短冊の横幅を指し、互いに連動していて、n の分割回数を増やすほど、Δx は小さくなります。

具体的な数値で考えてみましょう。a＝2、b＝4 として、n の分割回数をまずは10回とします。ひとつの短冊の横幅は、b と a の差を分割回数で割った「0.2」になるでしょう。このとき、区分求積の面積の和は、それぞれの短冊の「タテ×ヨコ」を足したものとして、

と表せます。さて、この式を、和のシグマ記号を使えるように数列の項という自然数（k＝1, 2, 3, ...）に紐づけて表現するためには、どのようにしたらいいでしょうか？なんだかプログラミングのループ処理を組むときの考え方に似ていますが、それには、スタート地点の下端 a を足場にして、そこに「項番×短冊の横幅 Δx」を次々上乗せしていけばいいのです。すなわち、

こんな具合です。また、短冊の横幅 Δx は、区間の巾を分割回数で割ったもので、

ですから、先に確認した区分求積の式全体は、

となります。これが区分求積の基本形になります。書き方はいろいろありますが、元の考え方は同じです。これで、個々の関数を入れて、実際に計算ができる形になりました。

では、次回からこの基本式を使って、実際にそれをやってみましょう。まずは、もっとも簡単な関数ではじめますが、それでも作業はかなりたいへんです。