【積分】単項式の積分公式

面積の話に入る前に、積分の表記に慣れるための準備体操として、微分の単項式の公式を積分記号を使って書き換えてみましょう。

上の単項式の微分・積分の関係を、積分記号を使って書けば、以下のようになるのでした。

積分の側からみると、この形では計算がしにくいので、微分のときと同じ、簡単な形に揃えてみましょう。つまり、

というわけです。まず、上の微分の公式から、

ここから類推して、

従って、上の図にあてはめると、

となります。形はちょっとカッコわるくなってしまいましたが、中身は同じで、積分用に書き換えたというだけです。いくつか練習してみましょう。

実際に計算すれば、微分のときと同じようにすっきりとした形におさまります。

ところで、この単項式の微分の公式は、n が整数でなくても使えるのでした。改造した上の公式を使って、積分の側からみてみます。

念のため、もう一度微分し直して、元に戻るか確認しましょう。

こんな具合です。

それでは、この公式も携えて、面積の話に入っていきます。