【初等幾何】球の表面積を求める

それでは前回の円錐台を用いて、球の表面積を計算してみましょう。

この節を最初から読む
この節の目次にもどる

球の表面積

まず結論・公式を先に確認してしまいます。球の表面積は、上図のように球が内接、すっぽりとはまる円柱の側面積と同じ値になります。直感的にはどうも合わない気がしますが、これで正しい計算です。そこで、双方が同じであることが示せれば、後者を通して球の表面積を確定できることになりますが、 前回の円錐台を間にはさむことで、これを簡単に証明することができます。

でははじめます。下の図は球とサイズがぴったりの円柱を、横から断面で見たものです。この球の一部を輪切りにして、内接する円錐台を想定します。中間部分の高さの半径を r0 とすると、前回の検証から、その側面積は、「母線 l ×中間点の回転距離(この場合は全円)」で、右の式のようになります。

球の表面積

ところで、この r0、母線 l、それから円錐台の高さ h には、球の性質によって以下の関係が生じます。次の図をみてください。

球の表面積

この図で青の三角形と、オレンジの三角形は、球と直角三角形の性質から、内角が同じ、すなわち相似です。よって、双方の辺の間には、右式のように比の関係が成り立ちます。

そしてこれをはじめの円錐台の側面積の式に入れてやると、

球の表面積

となります。ここで円錐台の厚さ h をどんどん狭めていくと、x は球の半径 R に寄っていきますから、上の切り取った円錐台の側面積は、球が内接する円柱の、同じ高さの側面積に近づいていきます。

このことは、円錐台をどの部分で切り取っても同じように成り立ちますので、あとはどこまでも細かく輪切りにしていって全部寄せ集めれば、円柱全体の側面積と一致する、というわけです。

この証明は、円錐台の側面積の出し方のところがキモで、そこをしっかり固めておけば、あとは一瀉千里でとても簡単です。球を扱ううえで、円錐台の知識がとても役立つことがわかります。


posted by oto-suu 16/08/03 | TrackBack(0) | 初等幾何 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
<< 前のページ | TOP | 次のページ >>
この記事へのトラックバックURL
http://blog.seesaa.jp/tb/440690589
※ブログオーナーが承認したトラックバックのみ表示されます。

この記事へのトラックバック