【初等幾何】円錐の側面積を求める

この後、次の大項目に積分を取り上げる予定ですが、そのための準備作業として、初等幾何の節に立体に関するいくつか内容を追加しておきます。念頭にあるのは、球の性質を研究することです。球はきわめつきにシンプルな、究極の立体といっていい存在ですが、扱いがとても難しいので、そこに向けて慎重に足場を組みながら、周りから固めていきます。まず最初の課題は、円錐の側面積の計算です。

円錐の側面と底面は、図画工作のようにハサミで切り開いて広げると、上のような円の一部を切り取った扇形と円の組み合わせとして、平面上に展開できます。底面の円の面積は簡単に計算できますから、側面の扇形の部分を出せれば、円錐の表面積も計算できることになります（円錐は、とりあえず頂点が底面の円の中心と垂直な「直円錐」とします）。

この側面の扇形には、円錐の形状から、以下の特徴があります。

まず、扇形の外周の弧の長さは、円錐でぴったり接着できるように、底面の円の円周と同じです。従って、扇形の外周部分の弧と、それが一部をなす大きな円の円周は、扇形と底面のそれぞれの半径と比の関係にあります。つまり扇形の広がりの形状が、ちょうど円グラフのように、大小二つの円の大きさの比率を表しているわけですね。この性質を使って、側面積を計算することができます。

このようにとてもすっきりした、美しい式になりました。また、この式は、次のように分解することもできます。側面積＝扇形の面積を S とすると、

これは、扇形を三角形に見立てて、外周の弧の部分を「底辺」、半径を「高さ」と置き換えれば、三角形の面積の公式で、あたかも三角形であるかのように面積計算ができることを示しています。

小学校で円の面積の公式を説明するときに、パイを切り分けるように分割した小さな三角形の集合として考える、というやり方がありますが、上記は、これを円の一部にあてはめたものと考えれば、同じ話になります（ r を l に置き換えれば、円全体の面積になる）。


次は一歩進めて、この円錐の上部をカットした円錐台に取り組みます。