【積分】やさしいセキブン〜積分の原理

前節の微分に続き、今回からそのまま順当に「積分」に入っていきます。微分の基本を押さえていれば、積分の機能を理解することは簡単です。

微分の原理をもう一度簡単におさらいしましょう。ある対象の関数について、微細な差分を取ることで、その変化の様子を把握する操作のことを微分（differentiation）というのでした。微分の演算操作によって作り出された、元の関数の変化を全体的に示した新たな関数が導関数です。代表的なn次関数の単項式の公式で確認すると以下のような関係でしたね。

さて、微分によって結びつけられた、この「元の関数」と「導関数」の関係において、「導関数」の側から逆に「元の関数」に戻す操作のことを「積分（integration）」と呼びます。積分が「微分の逆の演算」と言われるのはこのためです。つまり上の図に書き加えると、

というわけです。

微分を学習した中で、元関数の変化の特性を示した導関数の性質に習熟するために、導関数から微分される前の元の関数を推定して復元する演習というのをいくつかやりました。実はこのときやっていたのが、積分の操作そのものになります。

言葉で表現するなら、微細な差分からその箇所の変化の様子を知ろうとするのが「微分」であるとすれば、逆に、その微細な差分に仕込まれた変化の傾向から、それが繰り広げられた際の全体の軌跡を推定するのが「積分」であるといえます。ちょうど、飛んでいる状態を切り取った、飛行機の一瞬の写真から、飛行機雲のでき方を思い描くようなものです。

微分の公式は、悪戦苦闘しながらひとつひとつ作り込んできましたが、積分の計算は、微分の計算を逆流して元に戻すだけなので、矢印の向きをひっくり返せばいいだけで、基本は簡単です。

微分では、関数を微分することで、各々の箇所の 接線の傾きが求められるという興味深い性質がありましたが、これに対して、積分の用途でもっともよく知られているのは、曲線や曲面で囲まれた図形や立体の面積・体積を求めるというものです。微分の反対の計算をやると、なぜ面積や体積が求められるのか、とても不思議ですが、それもこれから勉強していきます。

また、積分の計算を表す演算記号は、これまた有名な、例のニョロンとしたやつ（積分記号）です。

数列のシグマ記号と同じで、数学嫌いの人は、見ただけでアレルギーが出て逃げ出したくなる記号のひとつですが、さすがにここでは観念して、正面から立ち向かわないといけません。腹を括って、この使い方も、あわせて学んでいきます。