【微分】三角関数の微分の意味〜合成関数で見る

三角関数と導関数の関係について、次は数式の面から吟味していきます。

先に導き出したサインとコサインの導関数の公式ですが、

三角関数の相互関係のところで勉強した、余角公式（プラスの方）とそっくりです。これにはなにか意味があるのでしょうか？

これをグラフに書き込んだのが、 前回の内容になるわけですが、ここでは同じことを次の合成関数の公式を使って、分析してみましょう。

余角公式には、カッコの中に「和の成分」が入っていますので、ここを合成関数で分離して料理しようというわけです。まずはコサインから、公式を適用してそのままやってみると、

こんな具合で、和の部分の微分は「1」になって消えてしまうので、最後に余角公式の形がそのまま現れることになります。サインについても同じです。

以上のように、合成関数を使うことで、サインコサインの一方の導関数の式から、簡単にもう一方の式を導き出すことができます。あらかじめどちらか一方の式を手持ちにしておく必要がありますが、三角関数の微分を行う方法として、よく採用されているやり方です。合成関数が、微分の分析ツールとして、強力なものであることも、よく分かりますね。