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脇に書いてある数式はこれです。まず、 Geogebraを使って、実際にグラフを書いてみます。
Wikipediaに出ていた図のとおりになってますね。最初に目にしたときには、いくら数式があるとはいっても、ここまでニョロニョロした関数が数学的にうまく扱えるとはとても信じられない気がしましたが、ここまであれこれやってきたところから見れば、意外に容易にどうにかなりそうです。式の形からは、三角関数の微分をベースに、積の微分と合成関数の微分の組み合わせになっていることが、確認できます。
では始めます。まず、三角関数の中に、x の2乗の2次関数が入っていますので、これを合成関数として分離します。こうすれば、公式から、全体の微分は「外枠の微分×中身の微分」です。
そのうえで、まず「外枠の微分」を求めると、「＋1」の定数項は、導関数では落ちてしまいます。あとは、積の微分の公式から、
次に「中身の微分」は、
よって、二つを合わせた合成関数の微分は、
となります。これで、元関数に添えられていた導関数の数式を、自分で実際に求めることができました。微分の基本公式が上手に組み合わせられた、とてもよい練習問題になっています。元のグラフに、導関数もいっしょに書き込んでみましょう。
こんな具合です。元関数の接線の傾き、すなわち微分係数が、導関数の値に反映しているところを確認してみてください。
ちなみに、以上のグラフは、原点の周りのごく小さな範囲だけを描画してありますが、その外側はどうなっているのでしょうか？カメラを引いてズームアウトしてみると、
実はなんと、こんな格好になっていたのでした。これもとてもおもしろいですね。
