【微分】三角関数を微分する〜sin x／xの極限値

前回、三角関数の微分を進めることで、式の中に次のような部品が出てきました。この値がどうなるのかを検証します。

この式の極限値を求めるのは、けっこう難しくて、なかなか簡単にはいきません。そこでこの証明には、三角関数の単位円を使った次のような図が、よく用いられます。

この図で、t は 0 に近いところの話なので「鋭角」とします。また、三角関数の定義から、赤の線は sin t、緑は tan t です。このとき、「△OAD」「扇型OAD」「△OCD」の3つの図形の面積には、上の図から、次の大小関係が成り立つことが視覚的に確認できます。

単位円の半径が 1 であることを意識しながらこれをそれぞれ計算し、式を整理すると、

次にこの各項を sin t で割ってやります。タンジェントはサインとコサインの比なので、

今度はこの式の逆数をとりましょう。大小関係はひっくり返しになるので不等号が逆転して、

これで、真ん中に狙いの形ができました。

さて、この式をじっくりと観察すると、この不等式はまず上限は「1」です。次に下限の cos t は、はじめの図で水色の線になりますが、これは t を 0 に近づけていくと、単位円の半径である「1」に、こちらもどこまでも近づいていくことが、図から確認できます。

つまりこの式の真ん中の項の値は、上限は 1 で、下限もどこまでも 1 に近づいて迫（せま）ってきますので、上限が「1」の壁に押し付けられるようにして自身も「1」に近づいていくことになります。すなわち、その極限値は、

です。このときの証明で、肝心の sin t／t の中身にはまったく触らずに、周りから攻め立てるようにして値を調べているところに注目してください。

このように、計算式の操作で極限値を直接言い当てることが難しいときに、上限と下限の壁を作って、不等式で両側から追い込んでいくようにして求めるというのは、極限値を求めるときの、ひとつの有力なやり方になっています。上の流れは、なんだかよく分からないうちに、気がついたら求める形ができていたように感じられたかもしれませんが、はじめからそういう下心で証明を組み立ててきたのです。この手法には、英語で「サンドイッチの定理」というおもしろい名前がついていて、後で追って確認します。

ともあれ、これでこの部品の式の値がなんとか判明しました。この式は、三角関数の微分で計算を整理すると現れる基本的なものなので、それ自体がひとつの公式として扱われています。

では、これを手持ちにして、もう一度三角関数の微分に戻り、前回の続きを進めましょう。