【微分】三角関数を微分する〜和積公式を使う

さて、最後は三角関数の微分です。指数・対数関数の微分では、いろいろと興味深い特徴について学べましたが、こちらはどんな具合でしょうか？

まずは、サイン（sine）の導関数について考えます。先に頭出ししてきたとおり、三角関数の微分では、上の基本形の差の部分を処理するのに、積和・和積公式のうち、以下のものを使います。

はじめに出てきたときには異様な感じがしましたが、あらてめてこうして見ると、なんとも微分にぴったりの、頼もしい形になってますね。これを基本形の分子の部分にあてはめて式を整理すると、

これを元の式に戻してやります。

ここで、式の見通しをよくするために次のように置き換えます。

これで上の式を入れ替えると、

以上のようになりましたが、この式で前半分の方は、cos（x）に収束するとみてよいでしょう。問題は、※の後ろ半分の部分です。

三角関数の微分では、ヤマが二つあって、一つめは上記の和積公式を使用する部分、もうひとつは、この※の部分です。

そこで、この部分だけを取り出して、極限をとるとどうなるのか、次回で研究しましょう。