【微分】羃乗関数の指数を拡張する

前回の対数微分法のテクニックによって、羃乗関数の微分では、指数を実数全体にまで拡張できることが分かりましたが、これを使って、導関数の計算をしてみましょう。

この公式は、微分の計算の要領を理解するために、もっとも簡単な基本の公式として、いちばん最初に取り上げたもので、以降、指数を順次拡張してきましたが、なんと、こんなところまで引っ張ってこれるような、微分の全体を貫く、奥の深い、使い勝手のある公式だった、というわけです。

この拡張された公式を使って、以下の例題を微分してみましょう。

累乗根は分数の指数と同じですから、それに置き換えて、あとはそのまま上の公式を適用します。

どうでしょうか。こんな具合でいろいろと肉付けをしてきて、ルートの入った関数まで微分できるようになり、はじめの、ごくシンプルだった導関数の計算から考えると、想像もつかなかったくらい遠くまで来ましたね。