【微分】「対数微分法」を使う

ここまで学んだ指数・対数関数の微分の考え方を使って、はじめからずっと扱ってきた羃乗関数の微分をさらに拡張してみましょう。

上の羃乗関数の微分は、指数を最初の自然数からはじまって、ゼロと負の数を加えた整数にまで拡張してきました。ここではそれを、有理数（分数）、無理数まで加えた実数全体にまで拡張したらどうなるか、ということをやってみます。つまり、この指数が、はじめに頭出ししたルート2の無理数の指数のような場合です。

この関数で、指数は整数以外のところまではみ出していますので、底に条件をはめます。また、整数ではないので、ここでもやはり二項定理は使えません。そこで、一計を案じて、いっそのこと、この式全体を指数のレベルに変えてしまい、対数の式として扱う、という策を考えてみます。これはすなわち、対数のところで扱った「対数をとる」というテクニックで、指数が無理数まで含めて滑らかに動くので、指数の専用ツールである対数公式で扱った方が取りまわしやすいだろう、というもくろみによるものです。

そこで、元の式について両辺の対数をとって、上のように対数の式に変え、この対数関数のアウトプット（ナマの指数）を別の文字を使ってたとえば t とします。対数の底は、微分ですので、男（？）は黙って自然対数です。

この対数の式で、上の（1）と（2）を、それぞれ y、x について、公式どおり微分します。

そして、この部品を、合成関数の公式に放り込んでやります。

あとは、式を整理してやれば、合成関数の公式の機能から、目当ての元関数の微分「dy／dx」が出てくる、というわけす。

なにをやったか、ちょっと難しかったでしょうか。最初の絵図をもう一度繰り返すと、二項定理を使って直接計算できないので、いったん対数（指数）のレベルに迂回して、合成関数を使って外側から追い込んで求める、というやり方を取ったのです。

こんなふうに、指数のからんだ式の微分では、対数をとって対数の式に変えることで、突破できる場合がよくあり、これを対数微分法といいます。対数も微分も、ひとつだけでも厄介なのに、両刀使いで（しかも合成関数まで）駆使することになるので、かなりハードルが高い感じですが、原理は、対数のところでみたものと同じで、対数のレベルに変換した方が取り回しがしやすいので、そうしましょう、というだけのものです。また、微分では、底を自然対数にすることで、計算式が圧倒的に簡単になりますので、この対数微分法のからみでは、（単に「対数をとる」だけでなく））「両辺の自然対数をとる」という表現が定番で使われることになります。


それから、例題に使った式の導関数をみると、最初から扱ってきた羃乗関数の微分の公式が、指数を実数全体に拡張した場合でも、そのまま維持されていて、適用可能である、という驚くべき結果になっていることが分かります。つまり、この公式は、指数が小数・分数でも、無理数であってさえも、使えるのです。これについては、次回でさらに確認しましょう。