【初等代数】分数の割り算で「逆数」を掛ける理由

分数の割り算を検証した前回の内容（「分数の割り算はなぜ分子分母をひっくり返すのか」）を、少し違う視点から書いてみます（内容は同じです）。

もともと「分数」とは、

のように、ひとつの項、数字の形にまとめた、割り算の計算そのものです。

一方、この割り算は、

のように、割る数（除数＝分母）に対する割られる数（被除数＝分子）の「比」を出す計算でもあります。 分数は、上のように凝縮された割り算なので、これは分数の機能でもあります。

ところで、先の 「分数の掛け算」の計算法から、

のように、分母と分子を上下ひっくり返した分数を、元の分数に掛けると必ず「1」になります。 これが「逆数」です。

元の数と掛け合わせると 1 になるわけですから、この逆数は、単位数 1 を被除数としたときの、 被除数と除数の「比」、言い換えれば、割り算の答えそのものといえます。すなわち、

このように、逆数は（単位数に対する）「比」そのもの、「比」のかたまりです。言い換えれば、 あらかじめ作っておいた、割り算の答えのエッセンスそのものです。

従ってある数をある数で割るとき、その「比そのもの」を先に作っておいて、割られる数に対して それをふり掛けて水増ししてやれば、それは単位数に対する除数の比を倍加したものなので、 そのまま、割る数に対する比の答えになります。つまり、

あるいは、上の逆数の式で両辺に同じ数を掛けて、

左側の数は整数でも分数でも、なんでもかまいません。

これが、分数の割り算で割る数をひっくり返して掛ける理由、となります。

「ひっくり返して掛ける」とは、被除数に逆数を掛けているわけですが、これは、逆数そのものが、 単位数 1 に対する割り算の答え、比そのものだからです。