【微分】合成関数の微分U

前回導き出した公式を使って、関数の中に別の関数が入れ子になった合成関数の微分を実際に計算してみましょう。

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合成関数の微分

導関数の公式はこうでした。さっそくやってみましょう。例題には、前回、合成関数を説明するのに使ったものを使用します。

合成関数の微分・例題

これを上の公式にあてはめると、

合成関数の微分・例題

となります。前回も述べたとおり、いったん公式を手に入れておけば、式を開いてから微分しなくてもよくなるので、処理がたいへん簡単になります。

ここで、こうして実際の例を微分してみることで、改めて妙な感じがしてくるのは、こうしたケースで外枠のカッコの3乗だけの微分だけでは済まなくて、そこに余計な「オマケ」がつくことです。

合成関数の微分・外枠×中身

なぜこうなるかといえば、その理由は、最初に合成関数の微分をスタートしたときの定義式の形にあります。関数が二重に入れ子になった状態で、中の x をスライドさせますので、それを開いていったときに、こういうオマケがつく、ということでした。

合成関数の微分

合成関数の場合には、このように、外枠の微分だけでは終わらなくて、「外枠の微分×中身の微分」という形になる点に注意しましょう。逆に、この中身が変数そのもので、「u=x」の場合には、その微分係数は 1 ですので、入れ子がない場合の微分に収斂する、ということになります。



ライプニッツ記法で書くと

ところで、この合成関数の微分の公式を、ライプニッツ記法で書くと、以下のようになります。

合成関数の微分(ライプニッツ記法)

これは、公式の導出を途中からデルタ記号を使って書き直すと、

合成関数の微分(ライプニッツ記法)

となって、ライプニッツ記法の定義から、上のようになるからです。

ラグランジュ記法と、双方を見比べて気づくことは、このくらいになってくると、ライプニッツ記法の方が、扱いやすくなってくることです。

まず、上記の右辺にある2つの「du」は、前後にバラしたうえで極限をとっているので、それぞれが上下で一体で、相互に約分して相殺しているわけではありませんが、公式をみると、あたかも分数として約分して、値を払ったかのようにみえます。計算するときもやりやすいですし、公式として覚えるときも、覚えやすいです。

また、見映えそのものも、プライム記号の「チョン」を打つラグランジュ記法は、微分の計算が単純なときには、簡便でたいそう便利でしたが、計算が複雑で行が増えてくると、チョンを打つか打たないかで元の関数か導関数かと、大違いですので、途中で書き間違えてしまいそうで、かえって気を使いますし、見てくれも分かりにくいです。それに比べて、ライプニッツ記法の方は、記述自体もすっきりしていて、何の変数をどう極限をとったかの関係もはっきりしています。

ライプニッツ記法が、微分を記述するうえで優れた美点を持っていて、長く好んで使われてきた理由の一端が、少し見えてきましたね。


posted by oto-suu 14/05/04 | TrackBack(0) | 微分 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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