【微分】合成関数の微分�T

微分の基本公式のラストは、合成関数の微分と呼ばれているものです。先の和・積・商の公式と、この合成関数の微分を組み合わせることで、微分できる範囲がさらに大きく広がります。

「合成関数」とはなにか

まずはこの「合成関数」とはなにものか、ということから確認していきましょう。合成関数とは、上のように、関数の中に別の関数が入れ子になっているもののことを言います。たとえば、２つの関数が以下だとすると、

のように、２つを入れ子に組み合わせたものが、合成関数です。よって、この微分公式があれば、ある関数と関数をカッコで組み合わせた関数を、式を開かないまま微分して導関数を取り出すことができるようになり、計算するときにとても便利、というわけです。

「合成関数」の導関数を求める

それでは、この合成関数の導関数を作り出してみましょう。従前と同様、微分の基本式に入れ、式を整形していきます。先にも増してかなりたいへんですが、基本的な考え方も、 積・商のときと同じです。

これをどうするかですが、手始めに f(x) 単独について入れ子を開いて微分の型を作れるよう、中身の g(x) の情報を集めておきます。 まず g(x+h) と g(x) の差を別の文字で指定します。

これを使って、上の極限の式の中の分子を作り替えます。

これで入れ子を開いて準備ができました。あとは式を整形していきます。

最後は、f(u) についての型を作るために、分母分子に k を掛けて分母を整えたものです。また、上の(1)(2)より、

これで、めでたく f,g についてのそれぞれの微分の型ができて、全体も完成です。かなりホネでしたね。

では、次回で、この公式を使って、合成関数の微分を実際に計算してみましょう。