【微分】導関数で読む関数の増減�U

微分した導関数から、元の関数を復元する「なぞなぞ問題」を、さらに続けます。ちょっとづつ難しくなっていきますが、要領は前回のものとまったく同じです。丁寧に考えてみてください。

次のお題は、これです。これが導関数だとすれば、元の関数はどんな形でしょうか。ちょっとギョッとさせられる変わった形ですが、めげずにチャレンジしてみましょう。

グラフは全体が、マイナス値の領域にありますので、全体的に傾きは右肩下がりで、かつ、X値がゼロに近いところでは傾きがきつく、離れたところでは寝ている、といった状況です。以上から想像される、元の関数の姿は、こんなところでしょうか。

答えをみてみましょう。この導関数の元の関数はこうでした。

前回指摘したとおり、導関数からは上下の位置は読めないので、二つに分かれているグラフの配置関係までは分かりませんが、それでも形そのものは、きちんと言い当てています。

同じ調子で、引き続きもう一問やってみます。今度の導関数は以下です。はじめのものとほとんど同じですが、上の部分が、X軸の水面から、少し顔を出しています。この差は元関数の姿形に、どう影響するでしょうか。

同じように増減の場合分け分析を行います。違う部分だけを書くと、

X軸の上に飛び出した部分では、左右とも傾きは「正（右肩上がり）」になります。さらに、この部分は導関数がほとんど一定に近い、横に寝た状態ですので、このことは、元関数の対応箇所が、正比例の直線グラフに近い状態にあることを予想させます。ここから想像される、元の関数の姿は、

最初の問題と比べて、左から入射するところと、右に抜けていくところが、右肩上がりに少しハねているところに注目してください。

答えをみてみましょう。この導関数の元の関数は以下です。

形の特徴が、うまく予想できていますね。また、導関数がX軸の上に飛び出て正の値になる転換点が、元関数で右肩上がりから右肩下がりに反転する箇所と、ちょうど一致しているところも、よくご覧ください。


さて、今回の二つの設問は、それぞれ分数関数の導関数に関するものです。この演習をはじめる前に、導関数とは元関数の変化の様子を簡易に示したものである、という微分の理解は、分数関数、すなわち、マイナスの指数の羃乗関数では、修正が必要なのかどうか、という疑問を出しました。

マイナスの指数、分数関数の場合には、微分することによって、分母の側で次数が上がり、より複雑な関数式になりますが、以上の検証からは、それはただ数式の見かけ上の話であって、微分と導関数そのものの性質に関する理解は、同じように適用して何ら問題ないことが分かります。この場合でも、導関数には、元の関数の単純化された情報が含まれていて、そこから同じように元のある程度の形状を復元することができます。導関数のこの性質は、数式の見かけにかかわらず、適用できるものとみてよさそうです。

では、以上を確認したうえで、最後の問題です。仮に導関数が以下のような形だったとしたら、元の関数はどんな形だと推定されるでしょうか？

言うまでもなく、これは三角関数のグラフですね。ここではまだ詳しくはやりませんが、これをみてひとつ言えることは、導関数が波うっている、すなわち周期性があることです。ここまでやってきた考え方からすれば、（接線の傾きの値を示す）導関数に周期性があるのであれば、元関数の形状にも何らかの周期性がある、ということが、少なくとも推測できるはずです。

たとえで言うとすれば、上のグラフは、いわば海面を漂う船の傾き具合を表した計器データで、それが上のように、どんぶらこどんぶらこと波うっているとき、船が乗っている波はどんな状態だと、船内からは想像できるでしょうか、ということです。はてさて、この導関数の元関数は、どんな形、どんな関数になるのか、とても楽しみですが、これは、もう少しあとのところで扱います。

その前に、この導関数の増減の分析について、ここまでの演習から得た知識と、用語とを、まとめて整理しておくことにしましょう。