【微分】高階微分とマイナスの指数

ここまでみてきた単項式の羃乗関数の公式において、指数をゼロから先のマイナスにまで広げた場合、高階微分はどういう考え方になるのかを探っていきます。

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高階微分とマイナスの指数


前回まで確認した内容にそって、ゼロの指数の前後で、元関数と導関数を並べたのが上の表です。この一覧で、指数がプラスの「A」の部分については、これまでやってきたとおりで、(係数を無視すれば)導関数をさらに微分する「高階微分」によって、式の次数はひとつづつ落ちていきますので関数はより簡単なものになっていきます。そして、この操作は、いったんゼロ次のところで切れていて、そこから先はいくら繰り返してもゼロの繰り返し、ということでした。

しかし、元の関数としては、さらに続きがあって、前回確認したとおり、マイナスの側の指数も取ることができ、新たに「B」の分数関数が始まります。そして、こちらの側については、公式の形態からいって必然的に、微分を繰り返しても底がありません。どこまでも行けます。

ここでやや引っ掛かるのは、この場合、微分そのものの捉え方がどうなるのか、という点です。

もともと微分というのは、ある変化(関数)の変化の様子を知る操作であり、導関数はその変化の具合を一般化して表現する関数でした。この理解は、上の「A」や、自然現象の落下運動のときのように、乗数が正で、微分を繰り返すことで関数が単純になっていくときには、よく馴染むのですが、「B」になると、微分を繰り返すことで、逆に(分母の側で)式の次数が上がって、導関数は元の関数より複雑なものになってしまいます。

ここまで風呂敷を広げたときに、元の関数の変化の具合を知るという微分の意味はどうなるのか、微分と導関数に対する基本的な理解も、もう少し仕立て直さないといけないのか、その点を意識しながら、この導関数の性質について、さらに調べていきましょう。


タグ:微分 導関数
posted by oto-suu 14/02/23 | TrackBack(0) | 微分 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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