【微分】分数関数の微分

前回、指数をゼロにおいたケースを調べた単項式の羃乗関数の微分で、指数をマイナスにまで拡張できるかを検証します。

対数のところでみたように、負の指数の羃乗は、正の累乗を分母に回して割った値になりますから、この関数は分数関数ということになります。この形でも、上の公式は維持できるでしょうか。

指数がマイナス：分数関数の場合

さっそくやってみます。上の式を微分の定義式に同じように放り込んで、どうなるかを確認します。計算は少々やっかいですが、頑張ってやってみましょう。

ここまでもってきたうえで、式をよく観察すると、この式の左側のパートは、正の整数のときの式と同じになっています。また、右側の分母は、h を 0 に近づけることで、「xのn乗」をさらに2乗したものに収束するといえるでしょう。そこで、上の展開をさらに続けると、

となります。この結果は、文頭の羃乗関数の公式が、マイナスの指数にまでそのまま拡張できることを示しています。つまり、この公式は、指数が整数全体の範囲で動いても使えることになり、非常に強力で、汎用性の高い公式ということになります。これでまた、微分の計算ができる範囲が大きく広がりました。

さっそくこれを適用して、いくつか分数関数の微分の例をやってみましょう。

こんな調子です。ちなみに、この分数関数は、グラフに描くと、以下のようになります。上の方は、xとyの積が定数になる「反比例」のグラフそのものですね。

ところで、これでこの公式が思いのほか便利なことは充分わかったのですが、逆に応用範囲が広がりすぎてちょっと戸惑うところもでてきます。それはなにかというと、関数の次数がゼロを突き抜けてこうしてマイナスの側まで行けるようになったことで、正の指数の高階微分でこれまで理解してきたことはどうなるのか、という問題です。この点を次でさらに追究します。