【微分】二項定理は微分の恋人�T

さて、これで、微分の実際の使用例・定義・表記について、ひととおり最低限のことを学びましたので、ここからは、いつも数学でそうするように、直感的なイメージから徐々に空中に足を離して、数式だけを純粋に抽出し、いろいろな計算をやって知識を深めていきましょう。

数式としては、微分とは元の関数に対して、この計算をすることでした。まず、もっとの単純な次の２次関数について、この計算をやってみます。

関数式の右辺を上の微分の定義の式に放り込んでやります。計算の仕方は、落下運動のときにやったものと同じです。

すると、微分することによって、変数の前に新たに「2」という値がでてきました。次は、次数をひとつ上げて、３次関数をやってみましょう。

カッコの中の※の部分の計算は、二項定理での展開になっていることが分かります。そのうえで、「h」で括れる部分は全部一括りにしてやれば、この部分はゼロに近づきます。変数の前に現れる数値は「3」です。次はさらに上げて４次関数を同じようにやってみます。

やっぱり二項定理の展開があって、次数が上がるのでどんどん長くなってきますが、最後はきれいに整理できます。変数の前につく数値は「4」です。ここで切り上げて、作成した成果の導関数を全部並べてみましょう。

なにやら導関数のでき方に一定の「パターン」があることが分かりますね。5次関数だったら？6次関数なら？リミットの計算をしなくても、規則的に言い当てられそうです。この仕組みを、次回でさらに踏み込んで研究しましょう。