【微分】瞬間の速度T〜方法を探索する

前回の試行錯誤から、瞬間ごとに速度を変えて、滑らかに加速していく物体の自由落下(空気抵抗があるので厳密には違いますが、以下ここではそうみなします)において、ある時点での瞬間の速度を求めるには、その周辺の距離の差分(difference)をとって、その差分をできるだけ短くつめていけばよいのではないか、というアイディアが浮かびます。

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前回の落下運動の計算式を使って、具体的にこれを計算してみましょう。まず、3秒からプラス1秒の4秒との間の差をとって速度を計算してみます。

瞬間の速度

電卓で簡単に計算できますね。次はこの差をもっとつづめて「+0.5秒」にしてみましょう。

瞬間の速度

割る「分母」の時間の方も、合わせて小さくつづまっていることに注意してください。さらに縮めて「+0.1秒」にしてみましょう。

瞬間の速度

こうして、式の「時間」の部分を取り替えてどんどん小さくしていけば、目指す3秒時点の速度にますますイイ具合に近づいているのではないか、と推測できます。

ところで、この「どんどん●●していく」という計算動作を、まとめてひとつの数式の中で表現する機能を、ここまで既に勉強してきています。それは、「数列」のところで取り上げた、「極限(リミット)」の考え方です。そこでこれを流用して、上の一連の操作を式に書けば、

瞬間の速度

のようになります。ターゲットの近傍に小さな差をとって、それをゼロに向けて、ぎゅーっと引き絞っていく、というのが式の意味です。数列のときには、「リミット」は無限数列の関連で、無限大に向けて拡大的、望遠鏡的に使っていましたが、ここではそれを反転させて、ゼロの値の方に、いわば顕微鏡的に、錐(きり)で穴を開けるように、ミクロの形で使っていることを確認してください。

では、この式を取り回すと、ほんとうに「瞬間の速度」の値が出せるのか、次回でそれを検証しましょう。


タグ:微分
posted by oto-suu 13/10/20 | TrackBack(0) | 微分 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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