【三角比】正弦定理から余弦定理を導く

正弦定理と余弦定理の変換では、先に、余弦定理から正弦定理を導く計算を取り上げましたが、新たに手に入れた加法定理を使って逆に正弦定理から余弦定理の式を作り出してみましょう。

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正弦定理の式はとてもシンプルで、組合せられた部品が少ないので、三角比の相互関係の式で補助しただけでは、なかなか余弦定理まで行き着きません。そこで、加法定理をさらにプラスしてこれを実現しようというわけです。正弦定理 --> 余弦定理 の変換は、このやり方が一般的なようです。

では、はじめます。まず正弦定理補角公式の組み合わせから、

正弦定理から余弦定理を導く

これを加法定理で置き換えて、

正弦定理から余弦定理を導く

ところで、もう一度、正弦定理から、

正弦定理から余弦定理を導く

上の分数の部分をこれで置き換えて、

正弦定理から余弦定理を導く

これでみごとに余弦定理の第一式になりました(パチパチパチ)。


この計算は、もともと「正弦定理+余弦定理」から加法定理の式を作り出したということもありますので、積み上げて「証明」したというよりは、じゃんけんの「ぐーちょきぱー」の手のループのように、それぞれの定理の相互関係を確認した、というとらえ方になると思います。


posted by oto-suu 13/09/08 | TrackBack(0) | 三角比 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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