【三角比】加法定理は家宝〜式を導く(sin)

ふたつの角度の三角比が分かっているときに、その角度の和(あるいは差)の三角比を出すことができれば、そこからさまざまな三角比の値を増やして割り出していくことができ、たいへん便利です。これが加法定理です。

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ところで、三角比のいちばんはじめに、角度を足したものの三角比は、それぞれの角度の三角比を足したものとは違いますよ、という話をしました。三角比同士を単純に足せばいいわけではないので、角度を足したもののの三角比を出せる数式というのは、それだけ貴重というわけです。

では、はじめます。これを導くには、前回の拡張された三角比の相互関係と、それから三角形の内角の和が π である、という性質を利用します。この二つから、

加法定理を導く

これで、左辺に「角度を足したものの三角比」が現れました。上の二つからこのユニットが作れる、というところが最初の大きな突破点です。ここを起点にして、正弦定理余弦定理を全開に使い回しながら式を改造していきます。

まず、正弦定理から、

加法定理を導く

次に上の”c”を余弦定理で置き換えます(これは”C”を消して”A”と”B”の二つの要素だけにするという意味です)

加法定理を導く

ところで再び正弦定理から、

加法定理を導く

このユニットを上の式に入れてやると、

加法定理(サイン)

できました。これが加法定理の式です(サイン)。正弦定理、余弦定理とともに、三角比のいろいろな計算の基礎になる、重要な式です。加法定理は、コサイン、タンジェントについても作れます。それを次で確認します。


posted by oto-suu 13/08/10 | TrackBack(0) | 三角比 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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