【三角比】「ヘロンの公式」を導く

正弦を用いた三角形の面積公式に余弦定理を掛け合わせて、三角形の3つの「辺」だけでできた、新たな面積の公式を作ってみましょう。

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ヘロンの公式

目標とするのは上のような式です。これを ヘロンの公式 といいます。この式は、三角比の入った三角形の面積公式から、余弦定理の以下の式で三角比を取り除くことで作り出すことができます。やってみましょう。

余弦定理

まず、正弦の入った面積公式を余弦に置き換え、それを上の余弦定理の式を使って変換します。

ヘロンの公式を導く

これで三角比は消えて、三角形の辺だけでできた式になりました。あとはこの式を整理していきます。まず、分子の式を取り出して展開していくと、以下の形になります。

ヘロンの公式を導く

ここで、スモールSを次のようにおくと、

ヘロンの公式を導く

ヘロンの公式を導く

となります。これを元の分子に戻して、二乗してあったところを平方根をとって戻しますが、三角形の面積は正で、上の式の値も、二辺の長さは一辺より長くなることから正になりますから、プラスの値を採用して、

ヘロンの公式を導く

これでできあがりです。スモールSの置きかたをうまく工夫してあることで、整った、とても美しい式になってますね。

面積を求めるヘロンの公式のメリットは、なんといっても三辺の長さが分かっている三角形であれば、そこから直接面積が計算できることです。「高さ」も「角度」も、求める必要がありません。実用面での応用としてもたいへん便利です。

次回で、実際の値を入れて、このヘロンの公式で面積を計算してみましょう。


posted by oto-suu 13/07/07 | TrackBack(0) | 三角比 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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