【三角比】正弦定理とその証明

正弦定理は、三角形の各要素と外接円の間の関係を表す定理です。余弦定理は式の中に cosine が入っているので余弦定理でしたが、正弦定理は sine が入った定理なので、こう呼ばれます。

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正弦定理
正弦定理

正弦定理は上のような格好です。余弦定理と同じく、この定理についても証明法がたくさんのやり方で考えられていますが、ここではそのうちのいちばん簡単なものを使って、この内容を確認しましょう。

最初に、以前、同じ sine を使った三角形の面積公式を作ったことを思い出します。この式を三角形の三つの角についてそれぞれ作ります。

正弦定理の証明

上の式の各項を abc で割ります。

正弦定理の証明

あとは逆数をとって、あらよっとフライパンをひっくり返せばできあがりです。カンタンです。

正弦定理の証明


「外接円」との関係については、まず「円周角の定理」という円の性質を確認します。

円周角の定理

上のように、円周上の弧の両端と、向かい側の弧の上の一点が作る角が円周角ですが、これは二等辺三角形の底角の性質により、弧の両端と円の中心で作った中心角の半分になりますので、頂点をどこにとっても一定になります。これは円周角が鈍角、直角のときでも変わりません。また、円周角が直角のときには、中心角は倍の180度になりますので、弧の両端が作る弦は、円の中心を通る直径です。これが「円周角(不変)の定理」です。

円周角の定理

これを踏まえて、三角形のひとつの頂点について、残りの角のひとつが直角になるように、外接円上の点 D をとります。上の円周角の定理により、∠BDC は Aと等しく、また、∠BCD は直角なので、辺BD は円の中心を通る直径です。

正弦定理の証明

あとは正弦 sine の定義から値を置き換えて、式を整形すれば完成です。

正弦定理の証明


これについても、対象の角が鈍角、直角の場合も、それぞれ証明できます。

一点注意点として、この正弦定理は、はじめに述べたように外接円と三角形の関係に関する定理ですので、それぞれの角度が、「 0 < θπ(180°)」の、三角形の内角を構成する範囲で扱います。この範囲では sine は常に正の値をとりますので、(改造元の面積公式と同様)計算式の中でもプラスの値の範囲内で動きます。分子の辺の長さは当然プラスの値で、それを分母で割った外接円の半径もプラスですから、分母でサインがマイナスになってしまうと、つじつまが合わなくなってしまうからです。

正弦定理は、余弦定理とともに、三角比のいろいろな性質を導く基本的な定理で、実用面でも、三角形の性質を使って地図を作る三角測量の基礎的な原理になっています。




posted by oto-suu 13/06/16 | TrackBack(0) | 三角比 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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