【二項定理】フィボナッチ数列の一般項を分析する�T

さて、二項定理の応用練習のトリを飾るのは、みんな大好き（？）フィボナッチ数列です。以前難しくて手が出なかった部分を、二項定理を使って分析してみましょう。

ここで再チャレンジするテーマは、ルートを含むフィボナッチ数列の一般項、別名「ビネの公式」です。以前手がけたときは、中に入っている黄金比の累乗の計算に手が出せなかったので、数学的帰納法の考え方を使って、外堀から埋めるやり方で検証しましたが、このような計算を分析するツールがまさに二項定理ですので、ここではそれを使って直接取り組んでみようというわけです。

では、さっそくとりかかりましょう。まず、フィボナッチ数列の一般項／ビネの公式を、以下のようにちょこっと改変します。

両者が同じものであることは理解できると思います。そして、この改変された式から確認できるのは、この分子の式から √5 と2のｎ乗を因数で切り出せて、あとに整数が残れば、この式は整数になる、ということです。ここではまず、√5 が切り出せるかどうか、という部分を検証しましょう。

まずは、この分子の式をじっくり観察します。この式は二項定理で扱える黄金比のユニットが２ケ入っています。中の符合は一方がプラス、一方はマイナスで、二項の値は「1」と「√5」でそれぞれ同じです。また、この２つが引き算されていることにも注意しましょう。

ここで、あとの方の、中の符合がマイナスになっているユニットに二項係数の分析でピックアップした性質を適用すると、間の符合がマイナスのとき、二項係数はプラスとマイナスが互い違いになって、奇数番目の項はマイナスになるのでした。前方側のブロックと他の計算は変わりませんので、仮に両者を足し合わせるとすると、奇数番目の項はプラスマイナスで相殺されて、偶数番目の項だけが残ることになります。しかしながら、ビネ公式では、両ユニットをつなぐ符合は引き算のマイナスですので、後のユニットの符合はもう１回さらに反転して、相殺されるのは偶数番目の項になり、奇数番目の項は同じものが二つ足されて倍になります。二項係数を C(n) として、これを一般的な形で書くとこうなります。

次に、この残った奇数番目の項について、完全に計算した状態を考えると、上のように二項展開の一方の値は「1」で各項の中では消え、もう一方の「√5」が奇数乗された値が残ることになります。奇数乗ということは、偶数乗をあともう１回累乗したもので、√5 は平方根ですから、この残った奇数番目の項は、すべて「二項係数（整数）×5の累乗×√5」という形になります。

これはすなわち、最初のビネ公式（改）の分子の式は√5を切り出せて、あとに整数が残る、言い換えれば、式全体の値は、平方根が残って無理数になることはなく、少なくとも「有理数（分数か整数）」にはなることが確認できた、という次第です。

ここまでいかがでしょうか？長くなりましたので、二回に分けて後編に続きます。