【二項定理】累乗の末位の数を調べる

それではここから、前回までにストックした二項定理の一般項と二項係数の性質を使って、いくつかの例題をやってみましょう。まずはじめに、「6の累乗の1の位は必ず6になる」という命題を二項定理を使って証明してみます。

この例題は、今まで、合同式を使った見方や、数学的帰納法を使った証明、あるいは、等比級数の公式を使った証明で、簡便な練習台として活用してきました。ここでは、同じことを二項定理を使って分析するとどうなるのかを見ていきます。

まず最初に下ごしらえとして、6のｎ乗が「偶数」であることを確認しておきます。以下で n, k は自然数、h は0以上の整数（非負整数）とします。

次に二項定理を使って、基数の「6」を「5」と「1」に分解したものを展開します。先に見たように、最後の項以外は「5」を約数に持ちますので、これを「5k」とすると、

ところで、上からこの数は偶数ですので、そのためには「k」は奇数でないといけません。そこでこの「k」を別の文字を使って「2h＋1」とおくと、

これで、6のn乗を二項定理を介して「10×整数＋6」で表すことができました。この計算はどのnについても成り立ちますので、6のｎ乗の1の位は必ず6、ということになります。

作戦の勘所は、6のｎ乗から6を引いた数が5と2を約数に持つ、すなわち、5の倍数であってしかも偶数であることを示せばよい、ということで、そこに二項定理を用いています。