【二項定理】あかたまあおたま�U

二項定理の式のでき方を可視化するために設定した前項のボール遊びのルールで、２色の「あかたま」と「あおたま」を付け加えていくと以下のようになります。

この図は二項定理の式の展開、パスカルの三角形の姿を、そのままうまくトレースできていることが確認できると思います。

いま、この図で、各段の「たて」の巾（ボールの個数）は、１段下に行くごとにボールが１段づつさらに追加されていきますので、段の数と一致していることが分かります。３段目なら縦の並びは３ケ、4段目なら４ケです。

また、それぞれの「かたまり」において、縦の成分の中にあかたま「ａ」とあおたま「b」が何個づつ入っているかも、前に見たように左から順々に増減していきますので、規則的に言い当てることができます。

問題は、各「かたまり」の横の巾、つまり各項の係数がいくらになるかをダイレクトに言い当てることです。たとえば、４段目の左から２番目の係数は「４」になる、３番目なら「６」になる、ということを計算で直接言い当てたいのです。これをどう考えたらよいかの手がかりは、既にこの図の中に含まれていて、この分析にいよいよ先に用意した「組合せ」の計算を使用します。次でそれをみていきましょう。