【二項定理】二項定理のための「順列・組合せ」�W

それでは前回までの「順列」の考え方を土台に、いよいよ目当ての「組合せ」の計算方法について考えていきましょう。

複数の要素を持つ母集団の中から、並び順を意識して取り出す「順列」に対し、並びを問わずに取り出したものが「組合せ（combination）」 です。この「並びを問わない」とは、椅子取りゲームで言えば、座る椅子の方は個別に識別されていない状態を指します。とにかく座れさえすればどの椅子でもかまわないという状態です。

これを同様に福引きにあてはめていえば、「景品がみんな同じ福引き」に相当します。「当たり」か「外れ」かがあるだけで、当たった人の商品はみんな平等に同じという福引きです。

この数え上げはどうやって行ったらいいでしょうか。例として「5人のうち3人があたる福引き」で当たりの組合せ総数はいくつあるか、という例で考えましょう。

この場合、「外れ」がありますので、まず、当たり商品がそれぞれ違っているものとして仮に置いて、「外れのある福引き」として順列の場合の数を計算します。

とはいえ、実際には当たり商品はすべて同じですから、上の中から同じ当選者の組みについて並びが異なるものとして複数のケースにカウントされているものを、全部寄せ合わせて「1通り」とみなす必要があります。そのためには、一組あたりの当選者の3人で作った順列で全体の場合の数を割って消し込んでやればいいということになります。すなわち、

これが「5個から3個を取り出す組合せ」の場合の数です。「順列」の計算式をあてはめて実際に計算してみると、

となります。順列のとき同様、一般化して書けば、

いくつかあてはめて例題で計算を練習してみましょう。

こんな具合です。最後の例は、「5個から5個全部を選ぶ組合せ」で、計算上も0の階乗を使って「1通り」となっています。これも公式をただマル暗記してもつまらないですから、まず「順列」を基礎として並びのあるものとして場合の数を数え、そこから並びをみないときにはメンバーが重複しているパターンを消し込む、という基本の考え方をおさえるようにしましょう。


「組合せ」の計算の基本は以上ですが、この考え方に馴れるために、次回でちょっと脱線してひとつの応用問題の例をやってみます。