【数列】円周率を数列で求める�V

数列のテクニックを使って円周率を求める応用課題の３回目です。前回で円周率に収束する数列の漸化式を割り出しましたので、これに実際に値を入れて計算してみます。

作成した漸化式およびその初項は上記のものでした。さっそくこれを計算してみましょう。

表計算ソフトだとこのくらいで限界です。それでも、なんと 正24,576角形 まで計算することができました。原理的には計算能力さえあれば、この先まだまだ細かく計算していけます。

上表の赤字の部分までが実際の正しい円周率です。よく新聞などを賑わしているような、何億桁、何兆桁を計算した、といった本格的なものと比べれば、ほんのわずかの、他愛もないものですが、それでも今までは与えられた値をただコピペしているだけだった円周率を、はじめて自分でゼロから計算しましたので、感激もひとしおです。

はじめに触れたように、この方法は円周率を計算するものとしてはもっとも原始的なもので、昔の東西の大数学者が実際に計算に使ったものと同じです。同様の原理を使って、古代ギリシャのアルキメデスは、正96角形まで、日本の江戸時代の大数学者 関孝和は、正131,072角形まで求めたといいます。計算機のない時代で、手計算でそこまで計算したのですから、どれほど凄いことか、こうして自分で計算してみることであらためて実感できます。

＜参考にさせていただいた資料＞
　　円周率に収束する数列 （ 青空学園数学科 ）
　　円周率の計算をめぐって（PDF） （ 名古屋大学 ）
　　和算の歴史 円周率 （ 江戸の数学 ）
　　関孝和の円周率の計算（PDF） （ 東京女子大学 ）