【数列】円周率を数列で求める�U

数列のテクニックを使って円周率を求める応用問題の二回目です。前回で基本的な考え方を整理しましたので、ここではそれに基づいて実際の計算を組み立てていきます。

漸化式をつくる

さっそくですが、最初に計算の核となる漸化式を作っていきます。角数が k 個の、円に内接する正多角形の一辺を拡大表示します。辺の長さは、a(n)です。今、この正 k 角形の角数を倍にした次段の正多角形を作り、その辺の長さをa(n+1)とすると、二つの正多角形の配置は図のようになります。

この図で、線分ODは、∠AOCを二等分しますので、線分ACと直交（直角で交叉）します。また、

です。さて、上から△OABは直角三角形ですから、三平方の定理に各辺の値を入れて整理すると、辺OBの長さは、a(n)の値を使って以下で表せます。

次に、△ABDも直角三角形ですから、辺ADも同じように三平方の定理で求められます。このとき、辺BDは、辺ODから上で求めた辺OBを引いたものですから、これを使って式を整理すると、

となります。計算はちょいとこみ入っていますが、基本の理屈は三平方の定理だけですのでそんなに難しくないはずです。辺ADは角数を倍にした次段の正多角形で、辺の長さはa(n+1)ですから、これで数列の項a(n)と次の項a(n+1)の関係を示す漸化式ができたことになります。

初項を求める

漸化式ができましたので、次は、数列の最初の項、初項を求めてみましょう。円に内接するいちばん角数の少ない正多角形は、正三角形ですから、この辺長を初項とします。

この辺長は余弦定理（久しぶりですね）を使って、上のように求められます。また、この次の角数を倍にした正多角形は、3×2で正六角形ですが、正六角形は、小さな正三角形を6ケ並べた図形ですので、辺長は計算するまでもなく半径と同じ 1/2＝0.5 です。簡単ですので、正三角形を飛ばしてこれを初項にし、ここから初めてもかまいません。

さて、これで数列を定義するのに必要な要素である、漸化式と初項の値の二つが揃いました。この数列は（角数を掛けることで）円周率を表す数列、円周率に収束する数列というたいへん貴重で珍しいものです。次回でこれに値を入れて実際に計算してみましょう。楽しみですね。