【数列】極限値の求め方

前回までに手に入れたフィボナッチ数列の一般項を足場にして、ここからいよいよ「フィボナッチ数列の黄金比への収束」という最後のテーマに取り組みたいと思いますが、その前にひとつ最後の下準備をこなしておくことにします。それは、ある無限数列の数式があったときに、その極限値を求める、あるいは、収束を判定するとはどういうことなのか、をより一般的、基本的な形で整理しておくというものです。

いま、ある数列の一般項が以下の格好で与えられているとします。

この n が無限数列の先にどこまでもどこまでも大きくなっていったときに、この式はどんな値になるでしょうか？すなわち、極限値リミットの記号を使って書くとこうです（'limit'のかかる範囲が分かるようカッコで括ってあります）。

この式が、n をどこまでも大きくしていったときに、「1」 にどこまでも近づいていくことは、容易に想像できると思います。この式は、定数の「1」と変数を分母とする分数の組み合わせでできていて、定数の部分はずっとそのままですが、分数の方の部品は、分母がどこまでも大きくなることで、どこまでも「0」に近づいていくからです。従って、この式は「収束する」と判断でき、その極限値は「1」です。

この感覚を頭にとめておいてくださいね。では、今度は次の式はどうでしょうか？

はじめの式とちがって、そのままじっとにらめっくらしていても、どこに行き着きそうなのか、分かりにくいかもしれません。でも、これを、ルービックキューブのようにガチャガチャと組み直して、

のように整理すれば、なんだはじめの式と同じか、ということになって、だったら同じく極限値は「1」となります（元式では、分母分子で同じ n の2乗から違う値を引いているのに、n を限りなく大きくすると、1 にどんどん近づいていくというのが面白いですね）。

「収束を判定する」、あるいはその「極限値を求める」際の、もっとも簡単なやり方は、以上のように行います。つまり、2番目の式を最初の式に組み換え、そこをめがけて改造する、言い換えれば、一見してそれが収束するのか、収束するならどういう極限値に収束するのかが分かりにくいときに、「式を仕立て直して、定数の部分と０に近づいていく部分とに仕分けする」 ことがうまくできれば、初めの状態よりは、ずっとはっきりと収束の有無と極限値が言えるようになる、という段取りです。

では、さっそくこの考え方を活用して、今度は次の式を手がけてみましょう。

ちょっといきなり難しくなってしまったでしょうか？ この式は、分母と分子がそれぞれ、定数と変数の部分からできていますが、変数の部分は、x を大きくすると逆にいっしょに発散してしまいますので、全体として収束するかどうかはどうもよくわかりません。この場合も、上の例と同じように、うまく因数分解できないか、あれこれ試行錯誤してもいいのですが、このタイプの式では、もっと簡単に極限値を求められる、お決まりの知られた方法があります。それは、分母と分子を変数の累乗で割ってやる、というものです。

分母分子を同じ値で割っているので、全体は変わりませんし、こうしてやることで、定数の部分と変数の部分が入れ代わって、変数だった項が逆に定数になり、定数だった項も含めて、残りが変数の項になります。さらに、x を大きくすると大きくなる部分が、分母分子のそれぞれの式の中で、分母の側に移りましたので、この部分は「0」に近くなっていきます。従って、その極限値は以下となります。

実際に値を入れて確認してみましょう。

なかなか唸らせる、うまいやり方ですね。とても簡単な方法で、あまりに簡単なので、慣れると一瞥しただけで極限値が見分けられるようになります。そして、実はフィボナッチ数列の比の収束も、この最後のやり方の応用で切り込んでいくことができます。次でそれを実際にやってみましょう。