【数列】フィボナッチ数列の一般項を味わうT

前回ようやくたどりついたフィボナッチ数列の一般項/ビネの公式ですが、苦労してせっかく手に入れた貴重な一品ですので、なでたりさすったりして愛でながら、少し楽しんでみましょう。

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ビネの公式

まず、この一般項の式を眺めて気づくのは、無理数の 「√5」 が入っていることです。気前のいいことに3つも入ってます。しかし、もともとのフィボナッチ数列は、単純な整数の数列でした。逆からみると、とてもそんなふうに見えないのですが、これって計算するとほんとうに整数になるのでしょうか?

フィボナッチ数列の値

これを考えるときに、ルートの入ったビネの公式と真正面から組み合うと、またかなり面倒なことになります。というのは、その場合、どうしても以下のような計算をしないといけないからです。

ビネの公式

この計算を自由に行うのは、今のレベルではまだちょっと厄介です。そこで、横にまわって、上式の「左辺」の方にむしろ注目し、またまた例の秘伝のタレ、特性方程式に登場願って、これをうまく活用しながら遠巻きに追い込むことを考えます。特性方程式(の元の形)は以下でした。

フィボナッチ数列の特性方程式

この変数の中身は無理数の黄金比で、上の式は、そこから整数ができる最小のセットということになりますから、これを使えばだいぶん便利に計算できるはずです。

では、いってみましょう。まず最初の1番目と2番目の項を計算してみます。

ビネの公式

これは簡単ですね。たしかにフィボナッチ数列の「1」になっています。次はちょっと飛んで5番目あたりの項を計算してみましょう。特性方程式の姿を意識しながら、次のように展開してみます。

ビネの公式

おっと、この展開から、ビネの公式が、前の二つの項を指定したビネの公式の入れ子の和になっていることが分かりした。そしてこの式は、3番目以降のすべての項について同じように展開できますから(項を一般的な「n」に置き換えて計算してみてください)。これはすなわち、フィボナッチ数列の前の二つの項の和が自身になる、という定義そのものを示しています。

以上の話を全部足し合わせると、1番目の項と2番目の項はたしかに整数で、3番目以降は、全部前の項の組み合わせですから、それを丹念に積み上げていけば、どこまで行っても整数の外には値が出ないことが、一般項の計算においても示されたことになります。

どうでしょうか。ちょっと肩すかしだったかもしれませんが、黄金比の無理数でできたフィボナッチ数列の一般項が整数になることが、はじめよりは腑に落ちましたでしょうか。


posted by oto-suu 12/05/05 | TrackBack(0) | 数列 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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