【数の構成】循環小数を分数に直す方法

小数のうち、有限小数と（無限小数のなかの）循環小数は、分数に変換することができます。そのやり方を復習しましょう。

まず、有限小数は、0.3 → 3／10、0.567 → 567／1000 のように、小数の部分を、それを括れるだけの10の累乗で割ってやれば簡単に分数に直せます。次に、循環小数は以下のような少々トリック的な方法を取ることで、分数に変えられることは、覚えている方も多いと思います。

では、無限小数のうちの残り、非循環小数はどうでしょうか？非循環少数は分数に変えることはできません。このことは、逆に分数（すなわち整数と整数の比）の側からみたときに、整数を整数で割ると、割り切れて有限小数で終わるか、割り切れずに循環小数になるかのどちらかにしかならない、というところから確認されます。この話については、あとでもう一度考えます。

無限のマジック

ところで、循環小数を分数に変換する上記の方法は、小数の桁の階段を下っていく循環節が、無限に続いて終端というものがない、という性質において正当化されるものです。もしも長く延々と続いたその先で、どこかにしっぽの終わりの部分が来るのであれば、循環節の分だけ桁を引き上げて辺々を引いたときに、見えないその遠い先でも石がその分だけズレてしまうことになります。とはいえ、引っ張り出しても残りがもとと同じだなんて、いくら使っても量が減らない魔法のトイレットペーパーみたいで、なんかムズムズして収まりが悪い、という疑問も当然浮かんできます。このモヤモヤの先にはいろいろ面白い話が埋まっていそうです。