【対数】対数の定義

前回、対数は指数と同じであり、指数そのものにスポットライトをあてて専門でもっと深く研究するために、累乗する元の数の右肩から取り出して、単独表記したものを特別に対数という別名で呼ぶ、という話をしました。ただ、数字だけ取り出すと、ふつうの数と区別がつかないので、三角比のときと同じように、専用の名札書きを貼って、指数であることの属性を持ち回れる状態にする、ということです。その専用の名札が「ログ何々」というものですが、では、その単独の数値として表記する際の書き方を具体的にどうするのか、さっそくそれをみていくことにします。

対数と指数の表記の関係は以下のようになっています。

くり返しになりますが、対数は、累乗の指数を単独で取り出したもので、これが対数の実際の数値（名札の中身）になります。、その右側の部分が対数の表記、「名札」の部分になりますが、まず「log」は、中身の数値が「対数＝指数」であることの宣言です。その次に書かれた値は、指数表記の累乗される元の数であり、対数表記ではこれを「底」（base）と呼びます（対数表記ではこちらが脇役になり小さく書かれます）。そして最後に置かれる値には、累乗された結果その値になる数値を書きます。これを「真数」（anti-logarithm）といい、この３パートで１つの値を示す１セットの名札です。「底」は、「指数＝対数」でその値を累乗するときの基準値であり、「真数」はその計算結果となるターゲットの対象値です。この表記法により、名札を見ただけで、その中身の数値が、どの数値をなにに向けて累乗したものかが、うまいこと分かるように工夫されています。

いくつか実際の例で要領をつかんでみましょう。

対数が指数を単独表記したものであり、名札にその条件が書き込まれている、それによって「底」という土台（base）から発射されて「真数」という天井に至るまでの、指数という梯子（はしご）が指定されている、という感覚がつかめたでしょうか？

羃（べき）乗・羃指数・logarithm

対数表記について、いくつか用語の点で捕捉します。

はじめに、指数対数関連の記述では「羃」（べき）という漢字が使われることがあります。難しい漢字ですが、意味は「累乗」と同じです。「羃」は「羃（おお）う」という意味で、自分で自分にかぶさって掛け算をする、というイメージです。古い言葉ですが、こちらがもともとの正しい言い方なので、数学の記述の中では現在でもふつうに使われています。「巾」という簡単な漢字をあてたり、ひらがなで書かれていることもあります。出てきたら、ああ、累乗のことだな、と思いましょう。

次に、肝心の対数を意味する英語「logarithm」ですが、なんでこういう呼び方なのか、調べてもよく分かりませんでした。ただ、言葉の構成は、「logos（論理・比）」＋「arithmos（数・計算）」で、「比のある数」「論理的な計算」くらいの、もやっとした意味のようです（ログログって丸太のことかと思ったらちがうんですね）。とはいえ、対数を一通り通過したあとから振り返ると、昔の人がなぜ対数にこの言葉をあてたのか、なんとなく気持ちが分かるような気もします。

＜参考にさせていただいた資料＞
　冪乗（ Wikipedia）