【三角比】余弦定理

ここでいったん話を「図形の三角形」の方に戻して、三角比の主要な定理/公式をいくつかおさえておくことにします。先の回で、三角比の関係式をたくさん手持ちにしておくのがカギ、と書きましたが、これらも使い手のあるもののひとつです。まずはじめは、そのうちの最も有名な「余弦定理」です。

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余弦定理

余弦定理は、ひとことでいえば、「直角三角形でない三角形の三平方の定理」です。直角三角形の三平方の定理に加えてプラスアルファの尾ひれがついていて、そこに余弦(cosine)が入っているので、この名前がついています。

この定理の証明も、三平方の定理と同じくらい、いろいろなアプローチが考えられていますが、ここでは、下図のように、三角形のひとつの頂点から対辺に垂線をおろして、二つの直角三角形に分割し、三平方の定理を組み合わせる方法でみてみることにします。

余弦定理
余弦定理

余弦定理の式で、θ =90°(直角三角形)の時は、cos θ =0 ですから、cosineの項が消えて、直角三角形の三平方の定理となります(「直角の三角比」を定めておいたこととちゃんと整合性が取れています)。これは上の図でいえば、θ をはさむ辺が垂線に寄ってきてそれと重なり、ひとつの直角三角形だけになった状態です。したがって、三角形一般に成り立つ余弦定理が与えられた状態から逆にみると、直角三角形の三平方の定理は、余弦定理のなかの特殊な状態という位置づけに整理されることになります。

また、余弦定理の公式は、上図のように与えられた三角形を二つの直角三角形に分割することで、その都度自分で計算して導くこともできます。ですので、この公式は、いちいち面倒な計算をせずに簡単に出せるように、途中をはしょって結果だけを使えるようにした、計算の「レトルトパック」みたいなものだと考えればいいでしょう(公式というのはすべてそういうものかもしれませんが)。


<参考にさせていただいた資料>
 余弦定理(KIT数学ナビゲーション)

posted by oto-suu 10/12/11 | TrackBack(0) | 三角比 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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