【初等幾何】平行四辺形の辺と角

前回までみてきた三角形の合同条件を使用することで、いろいろな図形の性質を証明できます。まずは、平行四辺形についてみましょう。

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向かい合う二組の辺がそれぞれ平行である四角形が平行四辺形(parallelogram)です。この図形はいくつか特有の性質を持っていますが、そのひとつは、「向かい合う辺の長さがそれぞれ等しく、対角も等しい」というものです。辺がそれぞれ平行であるだけで、なぜそのようになるのでしょうか。

証明は、三角形の合同条件を用いて、以下のようになります。

平行四辺形の辺と角

  • 対角線を引くと二つの三角形ができるが、この二つの三角形は底辺を囲む二つの角が平行線の錯角でそれぞれ等しく、底辺も共通なので、二角とそれに挟まれた一辺が等しく、合同である
  • よって平行四辺形の向かい合う辺はそれぞれ等しい
  • また、三角形が合同であることから、対角もそれぞれ等しい

では、逆の場合はどうでしょうか。二組の対辺がそれぞれ等しい四角形は、平行四辺形でしょうか。

以下の図のように、二組の対辺が等しい四角形に引いた対角線でできた、二つの三角形は三辺合同条件で合同です。従って錯角の位置にある角は等しく、よってそれぞれの対辺は平行であり、もとの四角形は平行四辺形になります。

二組の対辺が等しい四角形

この「二組の対辺がそれぞれ等しい四角形」の特殊なパターンが、四辺すべてが等しい菱形(rhombus)です。「二組の対辺が等しい四角形」の条件はそのまま維持されていますので、菱形もまた、対辺は平行であり、対角は等しくなります。

菱形


<参考にさせていただいた資料>
 Parallelogram(Wikipedia)

posted by oto-suu 10/09/13 | TrackBack(0) | 初等幾何 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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