【初等代数】「二次方程式の解の公式」を自分でつくる

数学も学年が上がって進んでくると、「二次方程式の解の公式」というものを教わります。これもよくそのまま暗記しなさいといわれてしまうのですが、せっかくですので自分で出してみましょう。道具として、前回確認した因数分解の公式を使います。

因数分解の方は、二次方程式と格好を似せるために以下のようにしておきます。

まず、 x² の項の係数（掛かる数）が揃うように、元式全体を a で割っておきます。

ここで、両方の式をじっくり見比べます。最終的に２乗されているのを外して、 x=** という一次式の形に持っていきたいので、 x の項の係数を右式の 2p に見立てて、上図の（Ａ）の部分に強引に因数分解の式を作ってしまいます。そのうえで p² にあたる部分は、同じ値をもう一度引きなおして、つじつまがあうようにしておきます。

上図の（Ｂ）の部分を因数分解し、式を整理します。

だいぶんそれらしくなってきました。ここで左辺の２乗を外すために平方根を使います。平方根は、２乗するとその数になる数のことですね。また、たとえば２乗して「４」になる数は「＋２」と「−２」の二つありますから、ここで「±」がでてきます。あとは式を整理して完成です！

この（Ｂ）の部分にあるような、因数分解で二乗の形を作っておいて差分を差し引くテクニックを「平方完成」（Completing the square）といいます。計算式を整形するときによく使われる便利な手法です。

＜参考にさせていただいた資料＞
　2次方程式の解の公式（物理のかぎしっぽ）
　二次方程式（Wikibooks）
　Completing the square（Wikipedia）