大人が学び直す数学

当サイトは、数学が苦手な人による、数学が苦手な人のためのオンライン学習ノートです。

他の多くの数学サイトとは違って、数学な得意な人が早足に通りすぎてしまうような、各駅停車の疑問を取り上げることをこころがけています。

運営者が実際に勉強しながら書いてますので、更新は不定期です。また、基本は本人の学習記録を公開したもので、専門家の書いたものではありませんので、勘違いしていて間違っていることもあります。内容をすべて鵜呑みにせず、ネット上の多くの資料と同様、テーマに対する理解を深めるための読み物のひとつとして、複眼的な視点で活用いただくようお願いします。



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積分で体積を求める原理は、面積を求める際の考え方をそのまま横すべりに体積に適用するだけで、それ自体は簡単です。

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積分と体積の公式を意識しながら、2次元の平面における円の面積についてもう一度見直していきます。

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それではここからは、積分の代表的な応用例である体積の計算について学んでいきます。

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前回行った区分求積の実演について、次数をひとつ上げて、二次関数で同じ計算をやってみます。

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前回調整した区分求積の基本式を使って、ごく簡単な例を使って実際に計算してみます。ニュートン・ライプニッツがたどりついた、微分との関係をつなぐ微積分学の基本定理が導けるでしょうか？

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ここからは、個々の具体的な関数において区分求積の計算を実際に行い、それによって前回の「基本定理」における微分との関係が本当に取り出せるのかを確認していきます。まずは一般化されたモデルケースを使って、基本的な考え方を整理しましょう。

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一定の区間を区切ってその内側を細かく刻んでいく区分求積と直接対応しているのは、自分も区間を持つ定積分になりますが、それが（定積分から区間を外した）不定積分と原始関数そのものにどうつながっているかを確認します。

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前回述べたように、ライプニッツは区分求積法からインテグラル記号の新しい表記を作りましたが、順序としては、この計算が原始関数（微分の逆の計算）と一致することははじめから自明ではなく、あとから「発見」されたものです。

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